Question

（2013•浦東新區(qū)二模）記直線l_n：nx+（n+1）y-1=0（n∈N^*）與坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積為S_n，則

lim

n→∞

(S1+S2+S3+…+Sn)=

1

2

．

Answer 1

分析：求出直線l_n：nx+（n+1）y-1=0（n∈N^*）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，寫(xiě)出所圍成的直角三角形的面積為S_n，利用裂項(xiàng)相消求出S₁+S₂+…+S_n，最后求得極限值．

解答：解：設(shè)直線l_n：nx+（n+1）y-1=0與x軸y軸的交點(diǎn)分別為A_n，B_n，
則An(

1

n

，0)，Bn(0，

1

n+1

)，
所以直線l_n：nx+（n+1）y-1=0（n∈N^*）與坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積為：
S_n=

1

2

|OAn||OBn|=

1

2

•

1

n

•

1

n+1

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴S1+S2+…+Sn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

．
所以

lim

n→∞

(S1+S2+S3+…+Sn)=

lim

n→∞

n

2(n+1)

=

lim

n→∞

1

2(1+ 1 n )

=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列極限的求法，是中檔題．