Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，過點(diǎn)P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

OA

•

OB

的取值范圍；
（3）若B點(diǎn)在于x軸的對稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由題意知，

c

a

=

1

2

，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求b，結(jié)合a²=b²+c²可求a，即可求解
（2）由題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系求出x₁+x₂，x₁x₂，由△＞0可求k的范圍，然后代入

.

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2中即可得關(guān)于k的方程，結(jié)合k的范圍可求

OA

•

OB

的范圍
（3）由B，E關(guān)于x軸對稱可得E（x₂，-y₂），寫出AE的方程，令y=0，結(jié)合（2）可求

解答：（1）解：由題意知，

c

a

=

1

2

，

6

2

=b即b=

3

又a²=b²+c²
∴a=2，b=

3

故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（2分）
（2）解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），則△=32²k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0
∴0≤k2＜

1

4

（6分）
∴x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

①
∴

.

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)
=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)•

64k2-12

3+4k2

-4k2•

32k2

3+4k2

+16k2
=25-

87

4k2+3

∵0≤k2＜

1

4

∴-

87

3

≤-

87

4k2+3

＜-

87

4

∴-4≤25-

87

4k2+3

＜

13

4

∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

）
（3）證明：∵B，E關(guān)于x軸對稱
∴可設(shè)E（x₂，-y₂）
∴直線AE的方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0可得x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

∵y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）
∴x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=

2× 64k2-12 3+4k2 -4× 32k2 3+4k2

32k2 3+4k2 -8

=1
∴直線AE與x軸交于定點(diǎn)（1，0）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程及直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示等知識的綜合應(yīng)用．