Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=-

1

2

，直線x-y-2=0與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OM⊥ON．

Answer 1

分析：（1）y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，故p=1．由此能求出拋物線方程．
（2）將x=y+2代入y²=2x，得y²-2y-4=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁y₂=-4，由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，得x1x2=

(y1y2)2

4

=4，由此能導(dǎo)出OM⊥ON．

解答：解：（1）∵y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，
∴p=1．
∴拋物線方程為y²=2x．
（2）證明：將x=y+2代入y²=2x，消去x，整理，得y²-2y-4=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵M(jìn)，N的縱坐標(biāo)y₁，y₂是y²-2y-4=0的兩個(gè)根，
∴y₁y₂=-4，
由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，得
y₁²y₂²=4x₁x₂，
∴x1x2=

(y1y2)2

4

=4，
∵

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=0，
∴

OM

⊥

ON

，
∴OM⊥ON．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法和直線垂直的證明，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線和拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．