Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，g(x)=

1

2

+lnx
（I）求g（x）的極小值；
（Ⅱ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）確定函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極小值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為y′=m+

m

x2

-

2

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式求最值，即可求實數(shù)m的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞）.g′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

．
當(dāng)x∈（0，1），g'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞），g'（x）＞0．
∴x=1為極小值點．極小值g（1）=1．
（Ⅱ）∵y=mx-

m-1

x

-

1

x

-2lnx=mx-

m

x

-2lnx．
∴y′=m+

m

x2

-

2

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥

2x

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立．
又

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，所以m≥1．
所以，實數(shù)m的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問題，考查不等式的證明，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．