Question

（2013•徐州模擬）已知函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx，g（x）=

1

2

bx2-2x+2，a，b∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）記函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)a=0時(shí)，h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）記函數(shù)F（x）=|f（x）|，證明：存在一條過原點(diǎn)的直線l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式，得f'（x）=

x-a

x2

，然后根據(jù)實(shí)數(shù)a的正負(fù)進(jìn)行討論，即可得到當(dāng)a≤0時(shí)和當(dāng)a＞0時(shí)兩種情況下函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=0時(shí)h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一個(gè)根且不為重根．因此求出h'（x）的表達(dá)式，再分b=0、b＞0和b＜0三種情況加以討論，即可算出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）首先根據(jù)（1）的結(jié)論，討論可得只有0＜a＜

1

e

時(shí)直線l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)．設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為s、t且s＜t，可得l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)分別為直線l與曲線y1=-

a

x

-lnx在x∈（s，t）的切點(diǎn)和曲線y2=

a

x

+lnx在x∈（t，+∞）的切點(diǎn)．由此結(jié)合直線的斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于a、x₁、y₁、x₂、y₂的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理可得

2(x12-x22)

x12+x22

=ln

x1

x2

，再令

x1

x2

=k（0＜k＜1），轉(zhuǎn)化為（k²+1）lnk=2k²-2．令G（k）=（k²+1）lnk-2k²+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理證出：存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0．由此即可得到原命題成立．

解答：解：（1）因?yàn)閒'（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，…（2分）
②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞a時(shí)，f'（x）＞0．
所以（0，a）為單調(diào)減區(qū)間，（a，+∞）為單調(diào)增區(qū)間．
綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，a），單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞）． …（4分）
（2）a=0時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

bx2-2x+2+lnx，
∴h'（x）=bx-2+

1

x

=

bx2-2x+1

x

，…（5分）
h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一個(gè)根且不為重根，
由h'（x）=0得bx²-2x+1=0，…（6分）
（ i）b=0，x=

1

2

，滿足題意；…（7分）
（ ii）b＞0時(shí)，b•1²-2•1+1＜0，即0＜b＜1；…（8分）
（ iii）b＜0時(shí)，b•1²-2•1+1＜0，得b＜1，故b＜0；
綜上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，b＜1． …（9分）
（3）證明：由（1）可知：
（ i）若a≤0，則f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
所以直線l與y=F（x）的圖象不可能有兩個(gè)切點(diǎn)，不合題意．…（10分）
（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a處取得極值f（a）=1+lna．
若1+lna≥0，a≥

1

e

時(shí)，由圖象知不可能有兩個(gè)切點(diǎn)．…（11分）
故0＜a＜

1

e

，設(shè)f（x）圖象與x軸的兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為s，t（不妨設(shè)s＜t），
則直線l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)即為直線l與y1=-

a

x

-lnx，x∈(s，t)
和y2=

a

x

+lnx，x∈(t，+∞)的切點(diǎn)．
y₁'=

a

x2

-

1

x

=

a-x

x2

，y₂'=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則0＜x₁＜x₂，且

a-x1

x12

=

y1

x1

=-

a

x12

-

lnx1

x1

，

a-x2

x22

=

y2

x2

=

a

x22

+

lnx2

x2

，

a-x1

x12

=

x2-a

x22

，
即

2a

x1

=1-lnx₁…①；

2a

x2

=1-lnx₂…②；a=

x1x2(x1 +x2 )

x12+x22

，③
①-②得：

2a

x1

-

2a

x2

=-lnx₁+lnx₂=-ln

x1

x2

，
由③中的a代入上式可得：（

2

x1

-

2

x2

）•

x1x2(x1 +x2 )

x12+x22

=-ln

x1

x2

，
即

2(x12-x22)

x12+x22

=ln

x1

x2

，…（14分）
令

x1

x2

=k（0＜k＜1），則（k²+1）lnk=2k²-2，令G（k）=（k²+1）lnk-2k²+2，（0＜k＜1），
因?yàn)?span id="lm5oqhr" class="MathJye">G(

1

e

)=1-

3

e2

＞0，G(

1

e2

)=-

4

e4

＜0，
故存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0，
即存在一條過原點(diǎn)的直線l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有分式和對(duì)數(shù)的基本初等函數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、討論函數(shù)f（x）+g（x）的極值點(diǎn)并證明了函數(shù)|f（x）|圖象與過原點(diǎn)的直線相切的問題．著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、直線的斜率公式和用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線等知識(shí)，屬于難題．