已知定點、
,動點
,且滿足
、
、
成等差數(shù)列.
(1)求點的軌跡
的方程;
(2)若曲線的方程為
,過點
的直線
與曲線
相切,
求直線被曲線
截得的線段長的最小值.
(1):(2)
.
解析試題分析:(1)利用題中的條件得到橢圓的定義,求出橢圓的實軸長與焦距,然后利用、
、
之間的關(guān)
系求出的值,從而確定點
的軌跡
的方程;(2)先設(shè)直線
的方程為
,利用直線
與圓
相切,結(jié)合確定
和
之間的等量關(guān)系,然后聯(lián)立直線與橢圓
的方程,求出交點的坐標(biāo),利用兩點
間的距離公式求出弦長的表達(dá)式,利用換元法將弦長表達(dá)式進(jìn)行化簡,并利用函數(shù)單調(diào)性求出弦長的最小
值.
(1)由、
,
,
根據(jù)橢圓定義知的軌跡為以
、
為焦點的橢圓,
其長軸,焦距
,短半軸
,故
的方程為
.
(2)過點與
軸垂直的直線不與圓
相切,故可設(shè)
:
,
由直線與曲線
相切得
,化簡得
,
,
由,解得
,
聯(lián)立,消去
整理得
,
直線被曲線
截得的線段一端點為
,設(shè)另一端點為
,
解方程可得,
有,
令,則
,
,
考查函數(shù)的性質(zhì)知
在區(qū)間
上是增函數(shù),
所以時,
取最大值
,從而
.
考點:1.橢圓的定義與方程;2.直線與圓的位置關(guān)系;3.直線與橢圓的位置關(guān)系;4.兩點間的距離
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線l1:x+a2y+1=0和直線l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R).
(1)若l1∥l2,求b的取值范圍;
(2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知長方形的兩條對角線的交點為
,且
與
所在的直線方程分別為
.
(1)求所在的直線方程;
(2)求出長方形的外接圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角,過點P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點,當(dāng)AB的中點C恰好落在直線y=x上時,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)分別為橢圓
的左、右焦點,斜率為
的直線
經(jīng)過右焦點
,且與橢圓W相交于
兩點.
(1)求的周長;
(2)如果為直角三角形,求直線
的斜率
.
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