Question

如圖，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點
（Ⅰ）求證：AE∥面PBC．
（Ⅱ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在面PAB內(nèi)能否找一點N，使NE⊥面PAC．若存在，找出并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）取PC中點為F，連接EF，BF，由已知中E為PD的中點，我們由三角形的中位線定理，可得EF∥DC且EF=

1

2

DC，結(jié)合ABCD是梯形，AB∥CD，AB=1，CD=2，我們可得ABFE為平行四邊形，進而AE∥BF，再由線面平行的判定定理即可得到AE∥面PBC．
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點，以AB，AD，AP方向為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出向量

AC

與

PB

的坐標(biāo)，代入向量夾角公式后，易求出直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）N為PG的中點，連NE，過D作AC的垂線交AB于G，連PG，我們易得NE∥DG，結(jié)合DG⊥AC，DG⊥PA及線面垂直的判定定理，我們可得DG⊥面PAC，再由線面垂直的第二判定定理可得NE⊥面PAC．

解答：解：（Ⅰ）取PC中點為F，連接EF，BF
又E為PD的中點，所以EF∥DC且EF=

1

2

DC
所以EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE為平行四邊形（2分）
所以AE∥BF，因為AE?面PBC，所以AE∥面PBC（4分）
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，3），E（0，

1

2

，

3

2

）（5分）
從而

AC

=（2，1，0），

PB

=（1，0，-3）
設(shè)

AC

與

PB

的夾角為θ，則
cosθ=

AC • PB

| AC |•| PB |

=-

2

5

，（7分）
∴AC與PB所成角的余弦值為

2

5

（8分）
（Ⅲ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于G，連PG，
設(shè)N為PG的中點，連NE，則NE∥DG，（10分）
∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC從而NE⊥面PAC（14分）

點評：本題考查的知識是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理，性質(zhì)定理、定義，建立良好的空間想像能力是解答此類問題的關(guān)鍵．