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        1. 已知數(shù)列{an}、{bn}滿足:a1=
          1
          4
          ,bn+1=
          bn
          1-
          a
          n
          2
          an+bn=1.
          (1)求證:數(shù)列{
          1
          bn-1
          }是等差數(shù)列;
          (2)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (3)設(shè)sn=a1a2+a2a3+a3a4+…anan+1,若4aSn<bn對于n∈N*恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)由an+bn=1,得bn=1-an,依題意
          1
          bn+1-1
          -
          1
          bn-1
          =
          1
          1
          1+an
          -1
          -
          1
          1-an-1
          =-
          1
          an
          -1+
          1
          an
          =-1
          ,由此能夠證明數(shù)列{
          1
          bn-1
          }是等差數(shù)列.
          (2)由
          1
          bn-1
          =-4+(n-1)(-1)=-n-3
          ,知bn=-
          1
          n+3
          +1=
          n+2
          n+3
          ,由此能得到數(shù)列{an}的通項公式.
          (3)由sn=
          1
          4×5
          +
          1
          5×6
          +
          1
          (n+3)•(n+4)
          =
          1
          4
          -
          1
          5
          +
          1
          5
          -
          1
          6
          +
          1
          n+3
          -
          1
          n+4
          =
          1
          4
          -
          1
          n+4
          =
          n
          4(n+4)
          ,知4aSn-bn=
          an
          n+4
          -
          n+2
          n+3
          =
          (a-1)n2+(3a-6)n-8
          (n+3)(n+4)
          ,依題意可知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立,由此借助二次函數(shù)的性質(zhì)能夠推導(dǎo)出a≤1,4aSn≤bn對于n∈N*恒成立.
          解答:解:(1)由an+bn=1,得bn=1-an
          依題意bn+1=
          bn
          1-
          a
          2
          n
          =
          1-an
          (1-an)(1+an)
          =
          1
          1+an
          1
          bn+1-1
          -
          1
          bn-1
          =
          1
          1
          1+an
          -1
          -
          1
          1-an-1
          =-
          1
          an
          -1+
          1
          an
          =-1
          a1=
          1
          4
          ,∴b1=
          3
          4
          ,
          1
          b1-1
          =-4
          ,∴數(shù)列{
          1
          bn-1
          }
          是以-4為首項公差為-1的等差數(shù)列
          (2)由(1)知
          1
          bn-1
          =-4+(n-1)(-1)=-n-3
          ,
          bn=-
          1
          n+3
          +1=
          n+2
          n+3
          an=1-bn=1-
          n+2
          n+3
          =
          1
          n+3

          (3)Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=
          1
          4×5
          +
          1
          5×6
          +
          1
          (n+3)•(n+4)
          =
          1
          4
          -
          1
          5
          +
          1
          5
          -
          1
          6
          +
          1
          n+3
          -
          1
          n+4
          =
          1
          4
          -
          1
          n+4
          =
          n
          4(n+4)
          ∴4aSn-bn=
          an
          n+4
          -
          n+2
          n+3
          =
          (a-1)n2+(3a-6)n-8
          (n+3)(n+4)

          依題意可知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立,令f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8
          當(dāng)a=1時,f(n)=-3n-8<0恒成立
          當(dāng)a>1時,由二次函數(shù)性質(zhì)知f(n)<0不可能成立
          當(dāng)a<1時,此二次函數(shù)的對稱軸為x=-
          3a-6
          2(a-1)
          =-
          3
          2
          (1-
          1
          a-1
          )<0

          則f(n)在n∈N*上是單調(diào)遞減,∴要使f(n)<0對n∈N*恒成立
          必須且只須f(1)<0即4a-15<0,∴a<
          15
          4
          ,又a<1∴a<1
          綜上a≤1,4aSn≤bn對于n∈N*恒成立.
          點評:本題考查等差數(shù)列的證明方法,數(shù)列通項公式的求解方法和以數(shù)列為載體求解實數(shù)a的取值范圍,解題時要注意數(shù)列性質(zhì)的靈活運用.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1<0,
          an+1
          an
          =
          1
          2
          ,則數(shù)列{an}是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,nan+1=2(n十1)an+n(n+1),(n∈N*),
          (I)若bn=
          ann
          +1
          ,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
          (II)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•順義區(qū)二模)已知數(shù)列{an}中,an=-4n+5,等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q=an-an-1(n≥2),且b1=a2,則|b1|+|b2|+…+|bn|=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+3n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為
          an=
          5
                n=1
          2n+2
              n≥2
          an=
          5
                n=1
          2n+2
              n≥2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n,那么它的通項公式為an=
          2n
          2n

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