Question

已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

 （Ⅰ）求橢圓的方程；

 （Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，

線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

 （Ⅲ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用離心率和直線與圓相切得到兩個(gè)等量關(guān)系，確定橢圓方程；（Ⅱ）利用定義法求解曲線方程；（Ⅲ）采用坐標(biāo)法，將向量問題坐標(biāo)化，進(jìn)行有效的整理為，然后借助均值不等式進(jìn)行求解范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵  

∵直線相切，

∴   ∴        3分

∵橢圓的方程是           6分

（Ⅱ）∵，

∴動(dòng)點(diǎn)到定直線：的距離等于它到定點(diǎn)的距離，

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線        6分

∴點(diǎn)的軌跡的方程為      9分

（Ⅲ），設(shè)、 

∴ 

∵，∴

∵，化簡得          11分

∴

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立       13分

∵，又

∴當(dāng)即時(shí)，，故的取值范圍是  14分

考點(diǎn)：1.橢圓方程；2.拋物線的定義；3.坐標(biāo)法的應(yīng)用.