Question

將楊暉三角形中的每一個數C_n^r都換成分數 

1

(n+1) C r n

，就得到一個如圖所示的分數三角形，稱為萊布尼茲三角形．令an=

1

3

+

1

12

+

1

30

+

1

60

+…+

1

n C n-3 n-1

+

1

(n+1) C n-2 n

，
觀察萊布尼茲三角形規(guī)律，計算極限

lim

n→∞

an=

1

2

．

Answer 1

分析：由于an=

1

3

+

1

12

+

1

30

+

1

60

+…+

1

n C n-3 n-1

+

1

(n+1) C n-2 n

=

2

1×2×3

+

2

2×3×4

+

2

3×4×5

+

2

n(n-1)(n+1)

=(1×

1

2

-

1

2

×

1

3

)+(

1

2

×

1

3

-

1

3

×

1

4

)+…+

1

(n(n-1)

-

1

n(n+1)

)，利用分組裂項求和，然后對其求極限

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(

1

2

-

1

n(n+1)

)即可

解答：解：∵an=

1

3

+

1

12

+

1

30

+

1

60

+…+

1

n C n-3 n-1

+

1

(n+1) C n-2 n

=

2

1×2×3

+

2

2×3×4

+

2

3×4×5

+

2

n(n-1)(n+1)

=(1×

1

2

-

1

2

×

1

3

)+(

1

2

×

1

3

-

1

3

×

1

4

)+…+

1

(n(n-1)

-

1

n(n+1)

)
=(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n

-(

1

2

-

1

n+1

)
=

1

2

+

1

n+1

-

1

n

=

1

2

-

1

n(n+1)

∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(

1

2

-

1

n(n+1)

)=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題主要考查了數列極限的求解，解題的關鍵是根據題中給出的數列的通項公式，發(fā)現其裂項的規(guī)律，進而利用分組列項進行求解．