Question

（2009•金山區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)z₀=

2a+1

+ai和z=z₀-|z₀|+1-（1+

2

）i，i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)．證明：復(fù)數(shù)z不可能為純虛數(shù)．

Answer 1

分析：本題要驗(yàn)證一個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)純虛數(shù)，從正面不好下手，采用反證法來做，先假設(shè)是一個(gè)純虛數(shù)，推出矛盾，得到要證明的結(jié)論．

解答：證明：因?yàn)?a+1≥0，所以a≥-

1

2

…（2分）
所以|z₀|=|a+1|=a+1…（4分）
z=

2a+1

+a i-（a+1）+1-（1+

2

）i
=（

2a+1

-a）+（a-1-

2

）i…（6分）
若使z為純虛數(shù)，則有

2a+1

-a=0  （1）
a-1-

2

≠0    （2）…（9分）
解方程（1）得：a=1+

2

（ a≥-

1

2

），…（11分）
代入（2）不符合，
故假設(shè)z為純虛數(shù)是錯(cuò)誤的，
故z不可能為純虛數(shù)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減運(yùn)算和乘除運(yùn)算，考查用反證法來證明復(fù)數(shù)是一個(gè)純虛數(shù)，本題解題的關(guān)鍵是推出矛盾，本題是一個(gè)中檔題目．