Question

如圖△ABC內(nèi)接于圓O，G，H分別是AE，BC的中點，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．證明：
（1）GH∥平面ACD；
（2）平面ACD⊥平面ADE．

Answer 1

分析：（1）取AD中點M，連接MG、MC．利用三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)，證出MG

∥

=CH，可得四邊形CMGH為平行四邊形，得到GH∥MC，利用線面平行的判定定理即可證出GH∥平面ACD；
（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到CB⊥AC．由DC⊥平面ABC得到DC⊥CB，從而證出CB⊥平面ACD，結(jié)合DE∥BC得DE⊥平面ACD，最后利用面面垂直判定定理即可證出平面ACD⊥平面ADE．

解答：解：（1）取AD中點M，連接MG、MC
∵MG是△ADE的中位線，∴MG

∥

.

1

2

DE
又∵平行四邊形BCDE中，CH

∥

.

1

2

DE，
∴MG

∥

=CH，可得四邊形CMGH為平行四邊形，可得GH∥MC
又∵MC?平面ACD，GH?平面ACD，
∴GH∥平面ACD   …（6分）
（2）∵AB是圓的直徑，∴CB⊥AC
又∵DC⊥平面ABC，CB?平面ABC，∴DC⊥CB，
∵AC、CD是平面ACD內(nèi)的直線，∴CB⊥平面ACD，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE   …（12分）

點評：本題給出多面體的底面為圓內(nèi)接三角形ABC，在AB為直徑的情況下求證線面平行和面面垂直．著重考查了線面平行判定定理和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．