Question

（Ⅰ）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+2n（n=1，2，3…），{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+

b 2 n

n

（n=1，2，3…），求證：

1

2

≤

n

k=1

1

ak+1bk+kak+1-bk-k

＜1．
（Ⅱ）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1且2a_n-3a_n-1=

1

2n-2

（n≥2）．設(shè)m∈N₊，m≥n≥2，證明（a_n+

1

2n

） 

1

m

（m-n+1）≤

m2-1

m

．

Answer 1

分析：（I）記In=

n

k=1

1

ak+1bk+kak+1-bk-k

，則I1=

1

2

＜I2＜＜In．而In=

n

k=1

1

(ak+1-1)(bk+k)

≤

n k=1 1 ak+1-1 • n k=1 1 bk+k

．從而有

n

k=1

1

ak+1-1

=

n

k=1

1

k(k+1)

=1-

1

n+1

＜1．由bk+1=bk+

b 2 k

k

=

bk(bk+k)

k

，知

1

bk+1

=

k

bk(bk+k)

=

1

bk

-

1

bk+k

，從而有

n

k=1

1

bk+k

=

1

b1

-

1

bn+1

≤

1

b1

=1．所以

1

2

≤

n

k=1

1

ak+1bk+kak+1-bk-k

＜1．
（II）設(shè)an+

x

2n

=

3

2

(an-1+

x

2n-1

)(n≤2)，an=

3

2

an-1+

c

2n-1

與an=

3

2

an-1+

1

2n-1

比較系數(shù)得c=1．由此入手能夠證明（a_n+

1

2n

）^

1

m

（m-n+1）≤

m2-1

m

．

解答：解：（I）證明：記In=

n

k=1

1

ak+1bk+kak+1-bk-k

，則I1=

1

2

＜I2＜＜In．（2分）
而In=

n

k=1

1

(ak+1-1)(bk+k)

≤

n k=1 1 ak+1-1 • n k=1 1 bk+k

．（4分）
因?yàn)閍₁=1，a_n+1=a_n+2n，所以a_k+1-1=k（k+1）．（5分）
從而有

n

k=1

1

ak+1-1

=

n

k=1

1

k(k+1)

=1-

1

n+1

＜1．①
又因?yàn)?span id="q5pbm9e" class="MathJye">bk+1=bk+

b 2 k

k

=

bk(bk+k)

k

，所以

1

bk+1

=

k

bk(bk+k)

=

1

bk

-

1

bk+k

，
即

1

bk+k

=

1

bk

-

1

bk+1

．從而有

n

k=1

1

bk+k

=

1

b1

-

1

bn+1

≤

1

b1

=1．②（6分）
由（1）和（2）即得I_n＜1．綜合得到

1

2

≤In＜1．
左邊不等式的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)成立．（7分）
（II）不妨設(shè)an+

x

2n

=

3

2

(an-1+

x

2n-1

)(n≤2)即an=

3

2

an-1+

c

2n-1

與an=

3

2

an-1+

1

2n-1

比較系數(shù)得c=1．
即an+

1

2n

=(

3

2

)nan+

1

2n

=

3

2

(an-1+

1

2n-1

)
又a1+

1

2

=

3

2

，故{an+

1

2n

}是首項(xiàng)為

3

2

公比為

3

2

的等比數(shù)列，
故an=(

3

2

)n-

1

2n

（10分）
這一問是數(shù)列、二項(xiàng)式定理及不等式證明的綜合問題．綜合性較強(qiáng)．
即證（

3

2

)

n

m

(m-n+1)≤

m2-1

m

，當(dāng)m=n時(shí)顯然成立．易驗(yàn)證當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)，等號(hào)成立．
設(shè)bn=(

3

2

)

n

m

(m-n+1)下面先研究其單調(diào)性．當(dāng)m＞n時(shí)，

bn bn+1 =( 3 2 )- 1 m ( m-n+1 m-n )=( 3 2 )- 1 m (1+ 1 m-n )， ∴( bn bn+1 )m=( 3 2 )-1(1+ 1 m-n )m＞ 2 3 (1+m• 1 m )= 4 3 ＞1∴bn＞bn+1

（12分）
即數(shù)列{b_n}是遞減數(shù)列．因?yàn)閚≥2，故只須證b2≤

m2-1

m

，即證(

3

2

)

2

m

≤

m+1

m

．事實(shí)上，(

m+1

m

)m＞1+Cm^ •

1

m

+Cm2•

1

m2

=

5

2

-

1

2m

＞

9

4

故上不等式成立．綜上，原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．