Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系相同的長度單位建立極坐標(biāo)系．曲線C₁的參數(shù)方程為：

x=acosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)）；射線C₂的極坐標(biāo)方程為：θ=

π

4

，且射線C₂與曲線C₁的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

6

3

（I ）求曲線C₁的普通方程；
（II）設(shè)A、B為曲線C₁與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，M為曲線C₁上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若直線AM與MB分別與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，求證|OP|．|OQ|為定值．

Answer 1

分析：（I ）利用三角函數(shù)知識(shí)消參，即可求得曲線的普通方程．根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求得射線C₂的方程，再根據(jù)射線C₂與曲線C₁的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

6

3

，求得a的值，即可得到曲線C₁的普通方程．
（Ⅱ）先設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，然后利用斜率公式求解，即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ） 由于曲線C₁的參數(shù)方程為：

x=acosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得

x2

a2

+

y2

1

=1．
由于射線C₂的極坐標(biāo)方程為：θ=

π

4

，故射線C₂的方程為 y=x （x≥0）．
把射線的方程代入

x2

a2

+

y2

1

=1 可得 x²=

a2

a2+1

．
再由射線C₂與曲線C₁的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

6

3

，可得

a2

a2+1

=

6

9

，解得 a²=2，
故曲線C₁的普通方程為

x2

2

+ y2=1．
（Ⅱ）由|OP|•|OQ|為定值．由（Ⅰ）可知曲線C₁為橢圓，不妨設(shè)A為橢圓C₁ 的上頂點(diǎn)，
設(shè)M（

2

cosθ，sinθ），P（x_P，0），Q（x_Q，0），因?yàn)橹本�MA與MB分別與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，
所以K_AM=K_AP，K_BM=K_BQ，由斜率公式并計(jì)算得  x_P=

2 cosθ

1-sinθ

，x_Q=

2 cosθ

1+sinθ

，
所以|OP|•|OQ|=|x_P•x_Q|=2，可得|OP||OQ|為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)
方程的方法，三點(diǎn)共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．