Question

【題目】已知橢圓和拋物線(xiàn)有公共焦點(diǎn)， 的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)分別相交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第四象限內(nèi)）．

（1）若，求直線(xiàn)的方程；

（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意設(shè)直線(xiàn)的方程為.設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)可求得 .則直線(xiàn)的方程為.

(2)由題意可得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)出直線(xiàn)方程，由對(duì)稱(chēng)性聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程可得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為

試題解析：

解：（1）解法一:由題意得拋物線(xiàn)方程為.

設(shè)直線(xiàn)的方程為.

令， ，其中. 由,得.

聯(lián)立，可得,，解得,,

.

直線(xiàn)的方程為.

(2)設(shè),直線(xiàn)， 點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,

直線(xiàn)的斜率存在,

關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),所以.解得.

故代入拋物線(xiàn)，可得， .

直線(xiàn)的方程為或.

設(shè)橢圓為. 聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓,消去整理得

，解得.

則，即.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為