Question

【題目】若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】證明：由于f(x)在[a，b]上的圖象連續(xù)，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，

所以f(x)在(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，則f(m)＝0，

假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)還存在另一個(gè)零點(diǎn)n，即f(n)＝0，則n≠m.

若n>m，則f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，則f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．

因此假設(shè)不成立，即f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．