Question

（2013•資陽一模）在數(shù)列{a_n}中，如果對任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為比等差數(shù)列，λ稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題：
①若數(shù)列{F_n}滿足F₁=1，F(xiàn)₂=1，F(xiàn)_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}滿足an=(n-1)•2n-1，則數(shù)列{a_n}是比等差數(shù)列，且比公差λ=2；
③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；
④若{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_nb_n}是比等差數(shù)列．
其中所有真命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：根據(jù)比等差數(shù)列的定義

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數(shù)），逐一判斷①～④中的四個數(shù)列是否是比等差數(shù)列，即可得到答案．

解答：解：數(shù)列{F_n}滿足F₁=1，F(xiàn)₂=1，F(xiàn)₃=2，F(xiàn)₄=3，F(xiàn)₅=5，

F3

F2

-

F2

F1

=1，

F4

F3

-

F3

F2

=-

1

2

≠1，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列，
故①正確；
若數(shù)列{a_n}滿足an=(n-1)•2n-1，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

(n+1)•2n+1

n•2n

-

n•2n

(n-1)•2n-1

=

-2

(n-1)•n

不為定值，即數(shù)列{a_n}不是比等差數(shù)列，
故②錯誤；
等比數(shù)列

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，滿足比等差數(shù)列的定義，若等差數(shù)列為a_n=n，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-1

(n-1)•n

不為定值，即數(shù)列{a_n}不是比等差數(shù)列，
故③正確；
如果{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，設a_n=n，b_n=2ⁿ，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=不為定值，不滿足比等差數(shù)列的定義，
故④不正確；
故答案為：①③

點評：本題考查新定義，解題時應正確理解新定義，同時注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．