Question

（1）如果(x+

1

x

)2n展開式中，第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等．求n，并求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）求(

x

-

1

2 4 x

)8展開式中的所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的系數(shù)，列出方程解得n值，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項(xiàng)；
（2）先求得展開式的通項(xiàng)公式，在通項(xiàng)公式中令x的冪指數(shù)為有理數(shù)，求得r的值，即可求得展開式中有理項(xiàng)．

解答：解：（1）∵(x+

1

x

)2n展開式中，第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等，
∴C_2n³=C_2n⁵，
∴3+5=2n，即n=4，
∴展開式中的通項(xiàng)為T_r+1=C₈^rx^8-2r，
若它為常數(shù)項(xiàng)，則r=4，∴T₅=C₈⁴=70．即常數(shù)項(xiàng)為70；
（2）設(shè)第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則T_k+1=C₈^kx

8-k

2

(-

1

2

x-

1

4

)k=C₈^k•(-

1

2

)k•x

16-3k

4

，
∵0≤k≤8，要使

16-3k

4

∈Z，只有使k分別取0，4，8，
∴所求的有理項(xiàng)應(yīng)為：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₁=

1

256

x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．屬于中檔題．