Question

設(shè)復數(shù)z=-

6

+

2

i，記u=(

4

z

)3．
（1）求復數(shù)u的三角形式；
（2）如果

a

z

+

b

u

=z+2u，求實數(shù)a、b的值．

Answer 1

分析：（1）先求化簡u=(

4

z

)3中的

4

z

，然后利用1的立方虛根的性質(zhì)(-

1

2

-

3

2

i)3 =1和復數(shù)的三角形式求出u．
（2）將z，u代入復數(shù)方程，化簡，利用復數(shù)相等的充要條件，可解出a、b的值．

解答：解：（1）

4

z

=

4

- 6 + 2 i

=

2

2 (- 3 2 + 1 2 i)

=

2 i

- 1 2 - 3 2 i

∴u=(

4

z

)3=(

2

i)3=2

2

(cos

3π

2

+isin

3π

2

)；
（2）因為u=(

2

i)3=-2

2

iz=-

6

+

2

i
所以

a

- 6 +  2i

+

b

-2 2 i

=-

6

+

2

i-4

2

i
即：a（-

6

+

2

i）+2

2

bi=-8

6

-24

2

i
解得：a=8，b=-8．

點評：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的三角形式的運算，
結(jié)論(-

1

2

-

3 i

2

)3=1的應用，簡化運算過程，是中檔題．