Question

如圖已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)．
（1）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的大小．
（2）若二面角P-BF-C的余弦值為

6

6

，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一對(duì)對(duì)邊平行且相等，得到一個(gè)四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行，把兩條異面直線所成的角表示出來(lái)，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．
（2）以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出線段的長(zhǎng)，根據(jù)條件中所給的兩個(gè)平面的二面角的值，求出設(shè)出的a的值，再求出四棱錐的體積．

解答：解：（1）E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE為平行四邊形
∴DE∥BF
∠PBF是PB與DE的所成角
△PBF中，BF=

5

，PF=

2

，PB=3
∴cos∠PBF=

2 5

5

∴異面直線PB和DE所成角的大小為arccos

2 5

5

（2）如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=a，
可得如下點(diǎn)的坐標(biāo)：
P（0，0，a），F(xiàn)（1，0，0），B（2，2，0）
則有：

PF

=(1，0，-a)，

FB

=(1，2，0)
因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一個(gè)法向量為m=（0，0，1）
設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），則可得

PF •n=0 FB •n=0

即

x-az=0 x+2y=0

令x=1，得z=

1

a

，y=-

1

2

，所以n=(1，-

1

2

，

1

a

)
由已知，二面角P-BF-C的余弦值為

6

6

，所以得：cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

1 a

5 4 + 1 a2

=

6

6

解得a=2．
因?yàn)镻D是四棱錐P-ABCD的高，
∴其體積為VP-ABCD=

1

3

×2×4=

8

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何的綜合問(wèn)題，在題目中不是求二面角．二是乙二面角的大小為已知條件，求出圖形中的未知量，再進(jìn)行其他的運(yùn)算．