Question

已知二次函數f（x）=ax²-4x+c．若f（x）＜0的解集是（-1，5）
（1）求實數a，c的值；
（2）求函數f（x）在x∈[0，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）＜0的解集是（-1，5），可知二次不等式對應的方程的根，利用根與系數關系列式求a和c的值；
（2）求出函數f（x）的解析式后，借助于其圖象分析函數在[0，3]上的單調性，運用單調性求函數f（x）在x∈[0，3]上的值域．

解答：解：（1）由f（x）＜0，得：ax²-4x+c＜0，
不等式ax²-4x+c＜0的解集是（-1，5），
故方程ax²-4x+c=0的兩根是x₁=-1，x₂=5．
所以

4

a

=x1+x2=4，

c

a

=x1x2=-5
所以a=1，c=-5．
（2）由（1）知，f（x）=x²-4x-5=（x-2）²-9．
∵x∈[0，3]，f（x）在[0，2]上為減函數，在[2，3]上為增函數．
∴當x=2時，f（x）取得最小值為f（2）=-9．
而當x=0時，f（0）=（0-2）²-9=-5，當x=3時，f（3）=（3-2）²-9=-8
∴f（x）在[0，3]上取得最大值為f（0）=-5．
∴函數f（x）在x∈[0，3]上的值域為[-9，-5]．

點評：本題考查了一元二次不等式的解集與二次不等式對應的方程的根的關系，考查了利用函數的單調性求函數的值域，是基礎題．