Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q＞1，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100，且4是a₂與a₄的等比中項(xiàng)，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；    
（2）設(shè)b_n=an2+log₂ an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=（a₂+a₄）²=100，a_n＞0，（n∈N^*），知a₂+a₄=10，由4是a₂與a₄的等比中項(xiàng)，知a₂a₄=16，由此求出a₂，a₄，從而能夠求出an=2n-1．
（2）由an=2n-1，知b_n=an2+log2 an=4^n-1+（n-1），由此利用分組求和法能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則a_n=a₁q^n-1，
由已知得a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=（a₂+a₄）²=100，
∵a_n＞0，（n∈N^*），
∴a₂+a₄=10，
∵4是a₂與a₄的等比中項(xiàng)，
∴a₂a₄=4²=16，
∴a₂，a₄是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，
∵q＞1，∴a₂=2，a₄=8，
∴

a1q=2 a1q3=8

，解得a₁=1，q=2，
∴an=2n-1．
（2）∵an=2n-1，
∴b_n=an2+log₂ an=4^n-1+（n-1），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和
S_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=

4n-1

3

+

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分組求和法的合理運(yùn)用．