Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，側棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分別是線段BC，B₁C₁的中點，P是線段AD上異于端點的點．
（Ⅰ）在平面ABC內，試作出過點P與平面A₁BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l交AC于點Q，求三棱錐A₁-QC₁D的體積．（錐體體積公式：，其中S為底面面積，h為高）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在平面ABC內，過點P作直線l和BC平行，根據直線和平面平行的判定定理可得直線l與平面A₁BC平行．
等腰三角形ABC中，根據等腰三角形中線的性質可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．再利用直線和平面垂直的判定定理可得直線l⊥平面ADD₁A₁ ．
（Ⅱ）過點D作DE⊥AC，證明DE⊥平面AA₁C₁C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，從而求得 =的值，再根據三棱錐A₁-QC₁D的體積 ==••DE，運算求得結果．
解答：解：（Ⅰ）在平面ABC內，過點P作直線l和BC平行，由于直線l不在平面A₁BC內，而BC在平面A₁BC內，
故直線l與平面A₁BC平行．
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分別是線段BC，B₁C₁的中點，∴AD⊥BC，∴l(xiāng)⊥AD．
再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．
而AA₁∩AD=A，
∴直線l⊥平面ADD₁A₁ ．
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l交AC于點Q，過點D作DE⊥AC，
∵側棱AA₁⊥底面ABC，故三棱柱ABC-A₁B₁C為直三棱柱，
故DE⊥平面AA₁C₁C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．
∵===1，
∴三棱錐A₁-QC₁D的體積 ==••DE=×1×=．
點評：本題主要考查直線和平面平行、垂直的判定定理的應用，用等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題．