Question

不論θ如何變化，方程y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0，都表示頂點(diǎn)在同一曲線(xiàn)上的拋物線(xiàn)，該曲線(xiàn)的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：將方程y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0轉(zhuǎn)化為（y-3sinθ）²=2（x-4cosθ），從而可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ），而（4cosθ，3sinθ）在同一曲線(xiàn)上，消掉參數(shù)θ即可求得該曲線(xiàn)的方程．
解答：解：∵y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0，
∴（y-3sinθ）²=2（x-4cosθ），
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ），
又拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在同一曲線(xiàn)上，
∴，消掉參數(shù)θ可得，+=1．
故答案為：+=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的參數(shù)方程，求得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ）是關(guān)鍵，考查分析轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．