Question

在邊長為a的正方形ABCD中內依次作內接正方形A_iB_iC_iD_i（i=1，2，3，…），使內接正方形與相鄰前一個正方形的一邊夾角為a，求所有正方形的面積之和．

Answer 1

分析：令第k個正方形的邊長為a_k，則可表示出a_k+1和a_k的關系式，整理求得（

ak+1

ak

）²=（

1

sinα+cosα

）²，推斷出{a_k²}為等比數列，進而利用等比數列的求和公式和等比數列的極限公式求得所有正方形面積之和．

解答：解：令第k個正方形的邊長為a_k，則a_k+1（sina+cosa）=a_k （0＜a＜

π

2

），

ak+1

ak

=

1

sinα+cosα

∴（

ak+1

ak

）²=（

1

sinα+cosα

）²，
即{a_k²}為等比數列，且公比小于1，
∴所有正方形面積之和
S=

a2

1-( 1 sinα+cosα )  2

=

2a2sin 2(α+ π 4 )

(sinα+cosα)2-1

=

2a2sin 2(α+ π 4 )

sin2α

點評：本題主要考查了數列的應用，數列與極限的綜合．考查了學生分析問題和解決問題的能力．