Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]，a為常數(shù)．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整數(shù)m，使得g（a）-m≤0對(duì)于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的解析式可得函數(shù)開(kāi)口方向及對(duì)稱軸，分類討論給定區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，分析函數(shù)的單調(diào)性后，可得最值；
（2）若g（a）-m≤0恒成立，則m不小于g（a）的最大值，分析函數(shù)g（a）的單調(diào)性求陽(yáng)其最值可得答案．

解答：解：（1）對(duì)稱軸x=-a
①當(dāng)-a≤0⇒a≥0時(shí)，
f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，x=0時(shí)有最小值f（0）=-a-1…（1分）
②當(dāng)-a≥2⇒a≤-2時(shí)，
f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，x=2時(shí)有最小值f（2）=3a+3…（1分）
③當(dāng)0＜-a＜2⇒-2＜a＜0時(shí)，
f（x）在[0，2]上是不單調(diào)，x=-a時(shí)有最小值f（-a）=-a²-a-1…（2分）
∴，g(a)=

-a-1 -a2-a 3a+3

a≥0 -1 -2＜a＜0 a≤-2

…（2分）
（2）存在，
由題知g（a）在(-∞，-

1

2

]是增函數(shù)，在[-

1

2

，+∞)是減函數(shù)
∴a=-

1

2

時(shí)，g(a)max=-

3

4

，…（2分）
g（a）-m≤0恒成立
⇒g（a）_max≤m，
∴m≥-

3

4

…（2分），
∵m為整數(shù)，
∴m的最小值為0…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的恒成立問(wèn)題，函數(shù)解析式的求法，其中（1）中分類討論思想，（2）中的轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想，一定要熟練掌握