Question

有甲、乙2名老師和4名學(xué)生站成一排照相．
（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，共有多少種不同的排法？
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，共有多少種不同的排法？
（3）甲、乙兩名老師不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學(xué)，共有多少種不同的排法？
（5）甲老師不能站在首位，乙老師不能站末位，共有多少種不同的排法？
（6）同學(xué)丙不能和甲、乙兩名老師相鄰，共有多少種不同的排法？（必須寫(xiě)出解析式再算出結(jié)果才能給分）

Answer 1

解：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學(xué)生在中間排列，共有A₄⁴A₂²=48種結(jié)果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個(gè)元素，
同4名學(xué)生進(jìn)行排列，注意教師之間還有一個(gè)排列，共有A₅⁵A₂²=240種結(jié)果
（3）由題意知兩名女生不能相鄰，可以先排列男生，有A₄⁴=24種結(jié)果，
再在男生寫(xiě)出的5個(gè)空中排列兩名女生，有A₅²=20種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有24×20=480種結(jié)果
即兩名女生不能相鄰的排列方法有480種結(jié)果
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學(xué)，則從4名學(xué)生中選兩個(gè)排列在教師之間，兩名教師和2個(gè)學(xué)生組成一個(gè)元素同另外2個(gè)元素進(jìn)行排列，共有A₄²A₂²A₃³=144種結(jié)果．
（5）由題意知可以分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結(jié)果，
甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結(jié)果，余下的4個(gè)人在四個(gè)位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結(jié)果，
∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有120+384=504種結(jié)果．
（6）甲、乙都不與丙相鄰排法種數(shù)可以從全排列種數(shù)中排除甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數(shù)，
故有A₆⁶-2A₂²×A₅⁵+A₂²A₄⁴=288．
分析：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學(xué)生在中間排列，共有A₄⁴A₂²種結(jié)果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個(gè)元素，同4名學(xué)生進(jìn)行排列，注意教師之間還有一個(gè)排列
（3）兩名教師不能相鄰，可以先排列學(xué)生，有A₄⁴種結(jié)果，再在學(xué)生形成的5個(gè)空中排列兩名教師，有A₅²種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有24×20種結(jié)果．
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學(xué)，則從4名學(xué)生中選兩個(gè)排列在教師之間，兩名教師和2個(gè)學(xué)生組成一個(gè)元素同另外2個(gè)元素進(jìn)行排列．
（5）分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結(jié)果，甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結(jié)果，余下的4個(gè)人在四個(gè)位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結(jié)果，相加得到結(jié)果．
（6）甲、乙都不與丙相鄰，可用排除法計(jì)數(shù)，計(jì)算出甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數(shù)，從總數(shù)中減去．
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是不相鄰問(wèn)題采用插空法，相鄰問(wèn)題采用捆綁法，本題包括的情況比較多，是一個(gè)綜合題目．