Question

求下列極限：

(1)

(2)

Answer 1

分析：(1)當(dāng)n無限增大時(shí),的分子、分母中都含無窮多項(xiàng),而“和的極限等于極限的和”只能用于有限多項(xiàng)相加.因此,需要先將分子、分母化為含有有限多項(xiàng)的算式,然后再用極限的運(yùn)算法則求極限.而所有數(shù)列的極限最終通過C=C(常數(shù)), =0,qⁿ=0(|q|＜1)來解決.

(2)如果把x=-2直接代入,分子、分母均為0,即分式是“”型,極限不能確定,所以不能利用簡(jiǎn)單的代入法來求極限,應(yīng)先把分子、分母因式分解,約去分子、分母的公因式(x+2),然后再求極限.

解：(1)

=

=

=

因?yàn)?＜|a|＜|b|,

所以||＜1,||＜1.

所以原式=1-b[]1-a·0-0[]0-1=0.

(2)

=

=

=

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有限項(xiàng)數(shù)列(函數(shù))的和、差、積、商的形式,如果每一項(xiàng)都有極限,可直接使用數(shù)列(函數(shù))極限的運(yùn)算法則求解；對(duì)不能直接使用數(shù)列(函數(shù))極限運(yùn)算法則的,可通過適當(dāng)?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化成常見數(shù)列(函數(shù))極限的形式,再通過極限的運(yùn)算法則求解.常見的變形思路和技巧是:

(1)對(duì)“”型,通常將分子、分母同除以增得“最快”的單項(xiàng)；

(2)對(duì)“∞-∞”型,通常將分子、分母同乘以“∞+∞”,進(jìn)行分子有理化后,再求極限；

(3)對(duì)“”型,通常將分子、分母進(jìn)行因式分解,以約去使分子、分母為零的因式.