Question

給出下列四個(gè)命題：
①若ξ～B（4，0.25），則Eξ=1
②線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a²+b²≤1成立的概率是

π

4

；
④函數(shù)y=log2(x2-ax+2)在[2，+∞)上恒為正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

5

2

)．
其中真命題個(gè)數(shù)是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①根據(jù)二項(xiàng)分別的期望公式可求Eξ=1．②根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)r意義判斷．③利用幾何概型進(jìn)行判斷．④利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判斷．

解答：解：①若ξ～B（4，0.25），則Eξ=4×0.25=1，所以①正確．
②根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)r意義可知線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以②正確．
③若a，b∈[0，1]，則a，b對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)檎�方形，面積為1，不等式a²+b²≤1成立，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榘霃綖?的圓在第一象限的部分，所以面積為

1

4

π，所以由幾何概型可知不等式a²+b²≤1成立的概率是

π 4

1

=

π

4

．所以③正確．
④因?yàn)楹瘮?shù)y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，
所以在[2，+∞）上x²-ax+2＞1恒成立，即x²-ax+1＞0恒成立．
即a＜

1

x

+x：在[2，+∞）上恒成立，
設(shè)g(x)=

1

x

+x，則g′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，因?yàn)閤≥2，所以g'（x）＞0．
所以g（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
所以：當(dāng)x=2時(shí)，g（x）的最小值為g（2）=

5

2

．
所以a＜

5

2

，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

5

2

)，所以④正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了各種命題的真假判斷，綜合性較強(qiáng)．