Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e，A為橢圓上一點(diǎn)，弦AB，AC分別過焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，試用α，β表示橢圓的離心率e；
（II）設(shè)

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

，當(dāng)A在橢圓上運(yùn)動時，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得

|AF1|

sinβ

=

|AF1|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

，由此能求出e=

sin(α+β)

sinα+sinβ

．
（II）設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．當(dāng)y₀=0時，λ₁+λ₂=2

a2 +c2

a2-c2

=

2(1+e2)

1-e2

；當(dāng)AB或AC與x軸垂直時，λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．．當(dāng)AB，AC都不與x軸垂直且y₀≠0時，AC的方程為y=

y0

x0-c

（x-c），由此能證明λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．

解答：解：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得

|AF1|

sinβ

=

|AF1|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

，
即|AF₁|=

sinβ|F1F2|

sin(α+β)

，|AF₂|=

sinα|F1F2|

sin(α+β)

，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=

sinβ|F1F2|

sin(α+β)

+

sinα|F1F2|

sin(α+β)

，
=2c（

sinβ

sin(α+β)

+

sinα

sin(α+β)

）=2c•

sinα+sinβ

sin(α+β)

，
得e=

sin(α+β)

sinα+sinβ

．
（II）設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①當(dāng)y₀=0時，λ₁+λ₂=2

a2 +c2

a2-c2

=

2(1+e2)

1-e2

；當(dāng)AB或AC與x軸垂直時，λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．
②當(dāng)AB，AC都不與x軸垂直且y₀≠0時，AC的方程為y=

y0

x0-c

（x-c），
由

y= y0 x0-c (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

，
消x得[b²（x₀-c）²+a²y₀²]y²+2b²y₀（x₀-c）y+c²b²y₀²-a²b²y₀²=0．
由韋達(dá)定理得  y₂y₀=

c2b2y02-a2b2y02

b2(x0-c)2+a2y02

，
所以y₂=

c2b2y0-a2 b2y0

b2(x0-c)2+a2y02

，
所以 λ₂=

|AF2|

|F2C|

=-

y0

y2

=-

b2(x0-c)2+a2y02

c2b2-a2b2

，
同理可得λ₁=

|AF1|

|F1C|

=-

y0

y1

=-(

b2(x0-c)2+a2y02

c2b2-a2b2

+

b2(x0+c)2+a2y02

c2b2-a2b2

]，
故λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．