Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（12分）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求導f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，

當a=0時，f′（x）=2ex﹣1＜0，

∴當x∈R，f（x）單調(diào)遞減，

當a＞0時，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+ ）（ex﹣ ），

令f′（x）=0，解得：x=ln ，

當f′（x）＞0，解得：x＞ln ，

當f′（x）＜0，解得：x＜ln ，

∴x∈（﹣∞，ln ）時，f（x）單調(diào)遞減，x∈（ln ，+∞）單調(diào)遞增；

當a＜0時，f′（x）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）＜0，恒成立，

∴當x∈R，f（x）單調(diào)遞減，

綜上可知：當a≤0時，f（x）在R單調(diào)減函數(shù)，

當a＞0時，f（x）在（﹣∞，ln ）是減函數(shù)，在（ln ，+∞）是增函數(shù)；

（2）

由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x=0，有兩個零點，

由（1）可知：當a＞0時，f（x）=0，有兩個零點，

則f（x）min=a +（a﹣2） ﹣ln ，

=a（ ）+（a﹣2）× ﹣ln ，

=1﹣ ﹣ln ，

由f（x）min＜0，則1﹣ ﹣ln ＜0，

整理得：a﹣1+alna＜0，

設g（a）=alna+a﹣1，a＞0，

g′（a）=lna+1+1=lna+2，

令g′（a）=0，解得：a=e﹣2，

當a∈（0，e﹣2），g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，

當a∈（e﹣2，+∞），g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，

g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣ ﹣1，

由g（1）=1﹣1﹣ln1=0，

∴0＜a＜1，

a的取值范圍（0，1）．

【解析】（1.）求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，分類討論，即可求得f（x）單調(diào)性；
（2.）由（1）可知：當a＞0時才有個零點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求導，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣ ﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范圍．
【考點精析】掌握基本求導法則和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．