Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）有一內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，一直角邊的方程是y=2x，斜邊長(zhǎng)為5

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，求此拋物線的方程．

Answer 1

分析：不妨設(shè)已知直角三角形為OAB，直線OA的方程為y=2x，由題意可知OA⊥OB，從而有KOB=-

1

KOA

，則可求直線OB的方程，聯(lián)立方程

y=2x y2=2px

可求A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²，代入可求P，進(jìn)而可求拋物線的方程

解答：解：不妨設(shè)已知直角三角形為OAB，直線OA的方程為y=2x
∵∠AOB=90°即OA⊥OB，
∴KOB=-

1

KOA

=-

1

2

，直線OB的方程為y=-

1

2

x
聯(lián)立方程

y=2x y2=2px

可得2x²-px=0
∴xA=

p

2

，y_A=p
同理可得x_B=8p，y_B=-4p
∵斜邊AB=5

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由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²=325
∴325=(

p

2

)2+p2+64p2+16p2
∵p＞0
∴p=2
∴拋物線的方程為y²=4x

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線與拋物線的相交關(guān)系及方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題中的關(guān)鍵是由直線的垂直關(guān)系得到直線OB的斜率．