Question

已知A₁，A₂為橢圓

x2

4

+y²=1的左右頂點，在長軸A₁A₂上隨機任取點M，過M作垂直于x軸的直線交橢圓于點P，則使∠PA₁A₂＜45°的概率為（　　）

A． 4 5

B． 7 10

C． 3 10

D． 1 5

Answer 1

當∠P′A₁A₂=45°時，直線A₁P′的方程為y=x+2，

與橢圓的方程

x2

4

+y²=1聯(lián)立，

y=x+2 x2 4 +y2=1

，
消去y得：5x²+16x+12=0，即（x+2）（5x+6）=0，
解得x=-

6

5

或x=-2（舍去）．
∴當∠P′A₁A₂=45°時，點P′在x軸上的射影M′的坐標為（-

6

5

，0），
∴|A₁M′|=|-

6

5

+2|=

4

5

，
∴|A₂M′|=|A₁A₂|-|A₁M′|=4-

4

5

=

16

5

，
顯然，當點M在x軸從點M′向右移動到A₂的過程中，橢圓上的對應點P從點P′移動到A₂，總滿足∠PA₁A₂＜45°，
∴滿足∠PA₁A₂＜45°的概率為P（M）=

|M′A2|

|A1A2|

=

16 5

4

=

4

5

．
故選：A．