Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象在y軸右邊的第一個(gè)最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2

2

）和（10，-2

2

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）指出函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：A=2

2

，并且周期T=16，再根據(jù)周期公式可得ω=

π

8

，又函數(shù)的一個(gè)最高點(diǎn)是（2，2

2

），并且0＜φ＜π，可得φ=

π

4

，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．
（2）將函數(shù)y=sinx的圖象先向左平移

π

4

個(gè)單位，再將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

8

π

倍，最后將縱坐標(biāo)伸長為原來的2

2

倍，則可得答案．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象在y軸右邊的第一個(gè)最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2

2

）和（10，-2

2

），
所以A=2

2

，并且周期T=2（10-2）=16，
所以根據(jù)周期公式T=

2π

|ω|

可得ω=

π

8

，
所以y=2

2

sin（

π

8

x+φ）．
因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)最高點(diǎn)是（2，2

2

），并且0＜φ＜π，
所以φ=

π

4

．
所以函數(shù)f（x）解析式為 y=2

2

sin(

π

8

x+

π

4

)．
（2）將函數(shù)y=sinx的圖象先向左平移

π

4

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（x+

π

4

）的圖象，再將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

8

π

倍（縱坐標(biāo)不變），最后將所得函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)伸長為原來的2

2

倍，則所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=2

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象平移變換，在進(jìn)行平移變換時(shí)要注意是先變換ω還是先變換φ，先變換ω與先變換φ的過程是不同的，此題考查學(xué)生的邏輯思維能力與推理論證能力，此題是中檔題．