Question

（2013•青島一模）設(shè)F₁F₂別是橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F₂斜角為

π

3

的直線交橢圓D于A、B點(diǎn)，F(xiàn)₁到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）作直線l與橢圓D交于不同的兩點(diǎn)P，Q，其中P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-A，0），若點(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線的一點(diǎn)，且滿足

NP

•

NQ

=4，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0，由點(diǎn)斜式可得AB方程，由F₁到直線AB的距離為3，得

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解出得c，由菱形面積為4得

1

2

×2a×2b=4，再由a²-b²=c²=3即可解得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P（-2，0），設(shè)Q（x₁，y₁），易知直線l存在斜率，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理可用k表示x₁，代入直線方程得y₁，從而可得線段PQ中點(diǎn)坐標(biāo)，分情況討論：當(dāng)k=0時(shí)由

NP

•

NQ

=4易求t值；當(dāng)k≠0時(shí)由點(diǎn)斜式可得垂直平分線方程，把點(diǎn)N坐標(biāo)代入該方程可用k表示出t，再由

NP

•

NQ

=4可求得k，進(jìn)而可得t值，綜合兩種情況可得t值；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0，
由題意得AB的方程為：y=

3

（x-c），
因F₁到直線AB的距離為3，所以有

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解得c=

3

，
所以有a²-b²=c²=3，①
由題意知：

1

2

×2a×2b=4，即ab=2，②
聯(lián)立①②解得：a=2，b=1，
所求橢圓D的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（-2，0），設(shè)Q（x₁，y₁），
根據(jù)題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
把它代入橢圓D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由韋達(dá)定理得-2+x₁=-

16k2

1+4k2

，則x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=k(x1+2)=

4k

1+4k2

，
所以線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)，
（1）當(dāng)k=0時(shí)，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸，
于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(2，-t)，
由

NP

•

NQ

=-4+t2=4，解得：t=±2

2

；
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，則線段PQ垂直平分線的方程為y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)，
因?yàn)辄c(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線上的一點(diǎn)，
令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

，
于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(x1，y1-t)，
由

NP

•

NQ

=-2x1-t(y1-t)=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，解得：k=±

14

7

，
代入t=-

6k

1+4k2

，解得：t=±

2 14

5

，
綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)t的值為t=±2

2

或t=±

2 14

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．