Question

如圖所示，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，點(diǎn)D₁、F₁分別是A₁B₁和A₁C₁中點(diǎn)，若BC=CA=CC₁，求BD₁和AF₁成角余弦值．

Answer 1

分析：連接D₁F₁，取BC中點(diǎn)M可得四邊形BMF₁D₁平行四邊形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為F₁A與F₁M成銳角或直角是異面直線BD₁和AF₁成角，最后求出三角形的邊長(zhǎng)即可得到結(jié)論．

解答：解：連接D₁F₁，取BC中點(diǎn)M，四邊形BMF₁D₁平行四邊形，
所以：MF₁∥BD₁，
故F₁A與F₁M成銳角或直角是異面直線BD₁和AF₁成角．
設(shè)BC=CA=C₁C=1，則AM=

5

2

，MF₁=

6

2

，AF₁=

5

4

，
所以：cos∠MF₁A=

AF 1 2+MF 1 2-AM 2

2•AF 1•MF 1

=

30

10

．
即BD₁和AF₁成角余弦值為

30

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問(wèn)題的一個(gè)重要技巧．如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．