Question

如圖，P是拋物線y²=2x上的動點，點B，C在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：設P（x，y），B（0，b），C（0，c），設b＞c．直線PB：y-b=，化簡，得（y-b）x-xy+xb=0，由圓心（1，0）到直線PB的距離是1，知，由此導出（x-2）b²+2yb-x=0，同理，（x-2）c²+2yc-x=0，所以（b-c）²=，從而得到S_△PBC=，由此能求出△PBC面積的最小值．
解答：解：設P（x，y），B（0，b），C（0，c），設b＞c．
直線PB的方程：y-b=，
化簡，得（y-b）x-xy+xb=0，
∵圓心（1，0）到直線PB的距離是1，
∴，
∴（y-b）²+x²=（y-b）²+2xb（y-b）+x²b²，
∵x＞2，上式化簡后，得
（x-2）b²+2yb-x=0，
同理，（x-2）c²+2yc-x=0，
∴b+c=，bc=，
∴（b-c）²=，
∵P（x，y）是拋物線上的一點，
∴，
∴（b-c）²=，b-c=，
∴S_△PBC=
=
=（x-2）++4
≥2+4=8．
當且僅當時，取等號．
此時x=4，y=．
∴△PBC面積的最小值為8．
點評：本昰考查三角形面積的最小值的求法，具體涉及到拋物線的性質、拋物線和直線的位置關系、圓的簡單性質、均值定理等基本知識，綜合性強，難度大，對數(shù)學思想的要求較高，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．