Question

如圖，已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐M﹣EFG的體積．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：（1）要證明面面垂直，只需在一個(gè)平面內(nèi)找到另一平面的一條垂線.由已知平面平面，且，可證平面，再根據(jù)是中位線，可證，從而平面，進(jìn)而再證平面平面，該題實(shí)質(zhì)是先找到面的一條垂線，再將平移到面內(nèi)；
（2）點(diǎn)是線段的動(dòng)點(diǎn)，考慮到和到面的距離相等，故，再結(jié)合第（1）問(wèn)結(jié)果，取的中點(diǎn)連接，據(jù)面面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到的距離就是三棱錐的高，再求，進(jìn)而求體積.
試題解析：（1）∵平面平面，平面平面， 平面，，平面，又中，分別是的中點(diǎn)，，可得平面， 平面，∴平面平面；
（2）， 平面，平面，平面，因此上的點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，∴，取的中點(diǎn)連接，則，平面， 平面，∴，于是，
∵平面平面