Question

設(shè)定義在[x₁，x₂]上的函數(shù)y=f （x）的圖象為C，C的端點為A，B，P （x，y）為C上任意一點，若

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），且x=λx₁+（1-λ）x₂；記

OM

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，現(xiàn)定義“當(dāng)|

PM

|≤k（k為正的常數(shù)）恒成立時，稱函數(shù)y=f （x）在[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似”．
（1）證明：0≤λ≤1；
（2）請給出一個標準k的范圍，使得在[0，1]上的函數(shù)y=x²與y=x³中有且只有一個可在標準k下線性近似．

Answer 1

分析：（1）據(jù)區(qū)間的左端點小于等于右端點，列出x₁≤x≤x₂，將x的值代入解不等式，即可證得結(jié)論；
（2）對于y=x²與y=x³分別求出M，P兩點的距離的最大值，利用題目中的定義求出k的范圍即可．

解答：（1）證明：由題意，x₁≤x≤x₂，∴x₁≤λx₁+（1-λ）x₂≤x₂，∴x₁-x₂≤λ（x₁-x₂）≤0．
∵x₁-x₂＜0，∴0≤λ≤1；
（2）解：∵

OM

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，∴

OM

-

OB

=λ(

OA

-

OB

)，∴

BM

=λ

BA

∴B、M、A三點在一條直線上．
又由（1）的結(jié)論，M在線段AB上，且與點P的橫坐標相同．
對于[0，1]上的函數(shù)y=x²，A（0，0），B（1，1），
則有P（x，x²），M（x，x），∴|

PM

|=x-x²∈[0，

1

4

]；
同理對于[0，1]上的函數(shù)y=x³，|

PM

|=x-x³，
令g（x）=x-x³，則g′（x）=1-3x²，
∵x∈（0，

3

3

）時，g′（x）＞0；x∈（

3

3

，1）時，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，

3

3

）上單調(diào)遞增；在（

3

3

，1）上單調(diào)遞減
∴g（x）在x=

3

3

處取得最大值

2 3

9

，而g（0）=g（1）=0，∴|

PM

|∈[0，

2 3

9

]
∵

1

4

＜

2 3

9

∴k∈[

1

4

，

2 3

9

]時，函數(shù)y=x²與y=x³中有且只有一個可在標準k下線性近似．

點評：本題考查新定義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計算能力，考查向量知識的運用，屬于中檔題．