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          已知橢圓及圓的方程分別為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          和x2+y2=r2,若直線AB與圓相切于點A,與橢圓有唯一的公共點B,若a>b>0是常數,試寫出AB長度隨動圓半徑變化的函數關系式|AB|=f(x),并求其最大值.
          分析:先設A(x0,y0),則過A的圓的切線方程為x0x+y0y=r2,將其與橢圓方程聯(lián)立,得一一元二次方程,由△=0,整理后即可得|AB|=f(r),求f(x)最大值時使用均值定理,注意等號成立的條件.
          解答:解:設A(x0,y0),則過A的圓的切線方程為x0x+y0y=r2,代入
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          ,得
          b2+
          a2 x02
          y02
          )x2-
          2a2r2x0
          y02
          x+
          a2r4
          y02
          -a2b2=0
          由△=0得(x-x02+(y-y02=a2+b2-
          a2b2
          r2
          -x2
          f(x)=
          a2+b2-
          a2b2
          x2
          -x2
          ,a<x<b

          a2b2
          x2
          +x2≥2
          a2b2
          x2
          x2
          =2ab
          ∴f(x)≤
          a2+b2-2ab
          =a-b
          (當且僅當x=
          ab
          時取等號)
          f(x)=
          a2+b2-
          a2b2
          x2
          -x2
          ,a<x<b

          f(x)的最大值為a-b
          點評:本題考查了圓與橢圓的關系,直線與曲線相切的關系,有一定的運算量,解題時要耐心細致
          練習冊系列答案
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          2

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設點Q的坐標為(1,0)存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切.若存在,求出點P坐標及圓的方程;若不存在,請說明理由.

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          (I )求橢圓C的方程;

          (II) 設點Q的坐標為(1,0),橢圓上是否存在一點P,使得直線都與以Q為圓心的一個圓相切,如存在,求出P點坐標及圓的方程,如不存在,請說明理由.

           

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          (本小題滿分12分)

          已知橢圓過點,左、右焦點分別為,離心率為,經過的直線與圓心在軸上且經過點的圓恰好相切于點

          (1)求橢圓及圓的方程;

          (2) 在直線上是否存在一點,使為以為底邊的等腰三角形?若存在,求點的坐標,否則說明理由.

           

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          科目:高中數學 來源:2011-2012學年吉林省高三下學期期初考試文科數學試卷 題型:解答題

          (本小題滿分12分)

          已知橢圓過點,左、右焦點分別為,離心率為,經過的直線與圓心在軸上且經過點的圓恰好相切于點

          (1)求橢圓及圓的方程;

          (2) 在直線上是否存在一點,使為以為底邊的等腰三角形?若存在,求點的坐標,否則說明理由.

           

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