Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) .

【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)研究時單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)奇偶性確定時單調(diào)區(qū)間，（2）先分離變量，轉(zhuǎn)化研究對應(yīng)函數(shù)值域，再利用導(dǎo)數(shù)研究時單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)奇偶性確定時單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)值域，即得結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域為且關(guān)于坐標原點對稱，

，∴為偶函數(shù)，

當時，，

令 ，

令

.

所以可知：當時，單調(diào)遞減，

當時，單調(diào)遞增，

又因為是偶函數(shù)，所以在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，所以可得：

當時，單調(diào)遞增，

當時，單調(diào)遞減，

綜上可得：的遞增區(qū)間是：，；

的遞減區(qū)間是：，.

（2）由，即，顯然，，

可得：，令，

當時，，

.

顯然，當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

∴時，.

又，所以可得為奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于坐標原點對稱，

所以可得：當時，，

∴的值域為，∴的取值范圍是.