Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是線段B₁C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列命題錯(cuò)誤的是（　�。�

• A．直線AD₁與A₁P所成的角的大小不變
• B．點(diǎn)P到平面ABCD的距離與點(diǎn)P到直線C₁D₁的距離相等，這樣的P點(diǎn)恰有2個(gè)
• C．直線AP與平面A₁C₁D平行
• D．直線A₁P與底面A₁B₁C₁D₁所成角的最大值為arccos

  6

  3

Answer 1

分析：由AD₁⊥平面A₁B₁CD，得直線AD₁與A₁P所成的角的大小為90°，保持不變．選項(xiàng)A正確；
由平面A₁C₁D∥平面AB₁C，得直線AP與平面A₁C₁D平行．選項(xiàng)C正確；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，直線A₁P與底面A₁B₁C₁D₁所成的角最大，且所成角為∠CAC₁，得∠CAC₁=arccos

6

3

，所以選項(xiàng)D正確．
排除法得出，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．

解答：解：∵AD₁⊥平面A₁B₁CD，且A₁P在平面A₁B₁CD內(nèi)，
∴AD₁⊥A₁P，即直線AD₁與A₁P所成的角的大小為90°，保持不變．選項(xiàng)A正確；
∵平面A₁C₁D∥平面AB₁C，且直線AP在平面AB₁C內(nèi)，
所以直線AP與平面A₁C₁D平行．選項(xiàng)C正確；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，直線A₁P與底面A₁B₁C₁D₁所成的角最大，且所成角為∠CAC₁，
則設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，在Rt△ACC₁中，
A₁C₁=

2

a，A₁C=

3

a，所以cos∠CAC₁=

A1C1

A1C

=

6

3

，
即∠CAC₁=arccos

6

3

，
所以選項(xiàng)D正確．
排除法得出，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意空間幾何體的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．