Question

【題目】已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為.

（1）若對(duì)任意的， ， ， 組成公差為4的等差數(shù)列，且，求；

（2）若數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列， 為常數(shù)，

求證：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件為.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意,可求得， （）,從而得， ， ，……， ， 是公差為4的等差數(shù)列,且,于是可求；

(2)由 ,可求得,,兩式相減得,若,可證得數(shù)列為等比數(shù)列,(充分性);若數(shù)列為等比數(shù)列,可證得,(必要性).

試題解析：（1）因?yàn)?/span>， ， 成公差為4的等差數(shù)列，

所以， （），

所以， ， ，……， ， 是公差為4的等差數(shù)列，且

，

又因?yàn)?/span>，所以

（2）因?yàn)?/span>，所以，①

所以，②

②-①，得，③

（i）充分性：因?yàn)?/span>，所以， ， ，代入③式，得

，因?yàn)?/span>，又，

所以， ，所以為等比數(shù)列，

（ii）必要性：設(shè)的公比為，則由③得，

整理得，

此式為關(guān)于的恒等式，若，則左邊=0，右邊=-1，矛盾：

若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以.

由（i）、（ii）可知，數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件.