Question

若函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在[-1，1]上的最大值是14，則a=

 

．

Answer 1

分析：由題意令t=a^x，則原函數(shù)變成關(guān)于t的二次函數(shù)，分a＞0和0＜a＜1兩種情況，分別求出t的范圍，根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出函數(shù)有最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的t值，進(jìn)而求出a的值，注意驗(yàn)證范圍．

解答：解：令t=a^x，則y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
當(dāng)a＞1時(shí)，∵x∈[-1，1]，則t∈[

1

a

，a]，
∴函數(shù)在[

1

a

，a]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=a時(shí)，函數(shù)取到最大值14=a²+2a-1，
解得a=3或-5，故a=3，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵x∈[-1，1]，則t∈[a，

1

a

]，
∴函數(shù)在[a，

1

a

]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=

1

a

時(shí)，函數(shù)取到最大值14=

1

a

•

1

a

+2

1

a

-1，
解得

1

a

=3或-5，
故

1

a

=3，即a=

1

3

．
綜上，a的值是3或

1

3

．
故答案為：3或

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的最值問題，考查了用換元法將原函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槎�次函�?shù)，注意求出換元后變量的范圍，本題是對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類后，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出變量范圍，再根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求有關(guān)最值問題．