Question

.數(shù)列滿足：，且

（1）設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 見解析； (2)   ；    (3)證明:見解析。

【解析】(1) 由,

從而證明是等差數(shù)列.

(2)在（1）的基礎(chǔ)上，可先求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)求出的通項(xiàng)公式.

（3）先求出

 

下面解題的關(guān)鍵是確定,

然后再考慮數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.

(1) ,

為等差數(shù)列                   

(2)由(1),從而     

(3)

,當(dāng)時(shí),,不等式的左邊=7,不等式成立

高考資源網(wǎng)版權(quán)所有當(dāng)時(shí),                      

故只要證,           

如下用數(shù)學(xué)歸納法給予證明:

①當(dāng)時(shí),,時(shí),不等式成立;

②假設(shè)當(dāng)時(shí),成立

當(dāng)時(shí),

只需證: ,即證:     

令,則不等式可化為:

即

令,則

在上是減函數(shù)

又在上連續(xù), ,故

當(dāng)時(shí),有

當(dāng)時(shí),所證不等式對(duì)的一切自然數(shù)均成立

綜上所述,成立.