Question

如果(x+x

x

)n的展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)和等于512，則展開式的中間項是（　�。�

• A、C₁₀⁶x⁸
• B、

  C

  5 10

  x7

  x

• C、C₈⁴x⁶
• D、

  C

  6 11

  x8

  x

Answer 1

分析：根據(jù)二項式定理所有奇次項的系數(shù)c_n⁰+c_n²+…+c_n^n-1=

1

2

（c_n⁰+c_n¹+c_n²+…+c_nⁿ）=

1

2

×2ⁿ=2^n-1=512得到n的值，然后利用二項式定理找到展開式的中間項即可．

解答：解：根據(jù)二項式定理所有奇次項的系數(shù)c_n⁰+c_n²+…+c_n^n-1=

1

2

（c_n⁰+c_n¹+c_n²+…+c_nⁿ）
=

1

2

×2ⁿ=2^n-1=512得：2^n-1=512，∴n=10，即(x+x

x

)10，所以第六項為中間項，
則根據(jù)二項式定理得：中間項為T6=

C

5 10

x5(

x

)5=

C

5 10

x7

x

.
故選B

點評：考查學生會利用二項式定理解決數(shù)學問題的能力．理解展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)之和等于所有偶數(shù)項的系數(shù)之和且兩者相加等于2ⁿ．