Question

下列幾個命題：
①方程x²+（a-3）x+a=0的有一個正實根，一個負實根，則a＜0；
②函數y=

1

x

的單調遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③函數y=log₂（x+1）+2的圖象可由y=log₂（x-1）-2的圖象向上平移4個單位，向左平移2個單位得到；
④若關于x方程|x²-2x-3|=m兩解，則m=0或m＞4；
⑤函數f（x）=

3+2x-x2

的值域是（0，2]．
其中正確的有

①③④

．

Answer 1

分析：①已知方程是一個二次函數，根據根與系數的關系，求出a的范圍；
②根據反比例函數的圖形和性質進行求解；
③根據對數函數的性質和平移的公式進行驗證求解；
④我們根據對稱變換圖象的性質，我們易得方程|x²-2x-3|=m有兩解時，m的取值范圍，進而判斷④的真假；
⑤根據根號有意義的條件先求出定義域，再根據配方法求出函數f（x）的值域；

解答：解：①中，若程x²+（a-3）x+a=0的有一個正實根，一個負實根
則x₁•x₂=a＜0，故①正確；
②函數y=

1

x

的單調遞減區(qū)間是，（-∞，0），（0，+∞），故②錯誤；
③y=log₂（x-1）-2的圖象向上平移4個單位，可得y=log₂（x-1）-2+4=log₂（x-1）+2，
向左平移2個單位得到y(tǒng)=log₂（x+1）+2，故③正確；
④y=|x²-2x-3|的圖象如圖示：
由圖可知若關于x方程|x²-2x-3|=m有兩解，則m=0或m＞4，故④正確；
⑤函數f（x）=

3+2x-x2

，可得3+2x-x²≥0，可得-1≤x≤3，
∵3+2x-x²=-（x-1）²+4，可得x=1取最大值為4，
x=-1或3取得最小值為0，
∴函數f（x）=

3+2x-x2

的值域是[0，2]．
故⑤錯誤；
故答案為：①③④；

點評：本題考查的知識點有韋達定理，復合函數的定義域，函數圖象的平移變換，函數的零點，函數的對稱性，我們根據上述定義和概念，對五個結論逐一進行判斷即可得到答案．