Question

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)(1，0)，直線:，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是線段與軸的交點(diǎn), .

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(Ⅱ) 記的軌跡的方程為，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線的弦、，設(shè)、 的中點(diǎn)分別為．求證：直線必過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：．  

（Ⅱ）見(jiàn)解析

解析:

 (Ⅰ)依題意知，直線的方程為：．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且⊥，∴是線段的垂直平分線．…………………….2分

∴是點(diǎn)到直線的距離．

∵點(diǎn)在線段的垂直平分線，∴．…………4分

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：．    ……….7分

(Ⅱ) 設(shè)，，直線AB的方程為…………….8分

　　　　　　　　　則

（1）—（2）得，即，……………………………………9分

代入方程，解得．

所以點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為．……………………………………10分

同理可得：的坐標(biāo)為．

直線的斜率為，方程為

，整理得，………………12分

顯然，不論為何值，均滿足方程，

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．………………14