Question

【題目】成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

(1)解 設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a－d，a，a＋d.

依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15.

解得a＝5.

所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d，10，18＋d.

依題意，有(7－d)(18＋d)＝100，

解得d＝2或d＝－13(舍去).

故{bn}的第3項(xiàng)為5，公比為2.

由b3＝b1·22，即5＝b1·22，

解得b1＝.

所以bn＝b1·qn－1＝·2n－1＝5·2n－3，

即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝5·2n－3.

(2)證明 由(1)得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2.

所以S1＋＝，＝＝2.

因此是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.