Question

已知：四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，PC與底面ABCD所成角為45⁰，PD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)為AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求三棱錐E-FCD的體積；
（2）當(dāng)點(diǎn)F為AB中點(diǎn)時(shí)，試判斷AE與平面PCF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線與平面所成角的定義，先在Rt△PAC中計(jì)算出PA=AC=2，從而得到底面菱形ABCD的對(duì)角線AC與邊長(zhǎng)相等，得到底面的面積為

3

．再根據(jù)F在菱形ABCD的一條邊上，可得△FCD面積等于菱形ABCD面積的一半，又因?yàn)镻D的中點(diǎn)為E，所以E到平面FCD的距離等于P到平面FCD的距離即PA的一半，從而得到三棱錐E-FCD的體積等于三棱錐P-FCD的體積的一半，不難算出這個(gè)體積；
（2）取PC中點(diǎn)G，連接FG、EG，利用三角形中位線定理可以證明出四邊形AEGF是平行四邊形，從而AE∥BG，最后用直線與平面平行的判定定理得出AE與平面PCF平行的位置關(guān)系．

解答：解：（1）連AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
∴∠PCA為PC與底面ABCD所成角，
即∠PCA=45°，∴PA=AC=2，AC=AB=BC=2，
∴S_△FCD=

1

2

×2×

3

=

3

．
因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，
∴V_E-FCD=

1

2

VP-FCD
=

1

2

•

1

3

S△FCD•PA
=

1

6

•

3

•2
=

3

3

…（6分）
（2）當(dāng)點(diǎn)F為AB中點(diǎn)時(shí)，AE∥平面PCF…（7分）
下面證明這一結(jié)論：
設(shè)PC的中點(diǎn)為G，連接FG，EG，
則EG∥CD，且EG=

1

2

CD．
又∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，
∴EG∥AF，且EG=AF，
∴四邊形AEGF為平行四邊形，
∴AE∥GF．  
又∵GF?平面PFC，AE?平面PFC，
∴AE∥平面PFC…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)和棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，考查了同學(xué)們對(duì)空間位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，屬于中檔題．